你没听过的梅森旋转算法

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(标准开头)

如果单独提梅森旋转算法可能大家都很陌生,但如果说到C++11的random可能大家就都熟悉多了。事实上,C++,python等多种计算机语言的随机数都是通过梅森旋转算法产生的。(也有一个称呼是梅森缠绕算法)

那,本文就着重介绍这个梅森螺旋旋转算法

(算法本身挺学术的,我努力写得轻松点)

先在这里感谢一下@dgklr大佬的引导。如果没有他提及,笔者可能还不知道这个算法。

旋转算法简介

梅森旋转算法,也可以写作MT19937。是有由松本真和西村拓士在1997年开发的一种能快速产生优质随机数的算法。

其实这个算法跟梅森没有什么关系,它之所以叫做是梅森旋转算法是因为它的循环节是2^19937-1,这个叫做梅森素数。

如果看过我的那篇随机数的文章应该知道关于伪随机的一些知识。这个随机算法之所以说是产生“优质“”随机数,特点就是它的循环节特别长。而且产生的数分布是比较平均的。

可能有的同学对这个循环节有点质疑。可能觉得2^19937-1有点短?

我在这里大概给一个概念:

银河系中的恒星数量级10^11

撒哈拉沙漠中的沙子数数量级是10^26

宇宙中目前可观察的粒子数量级是10^87

2^19937数量级是10^6001

这个比较大概心里有数了吧

相差的已经不止是一个数量级了

同时他在623维中的分布都十分的均匀(这个不用理解)

知道分布平均就好了

你没听过的梅森旋转算法

(梅森镇楼)

->continue

前置知识

分析这个算法的原理需要的前置知识在网上讲的都比较绕,我在这里就通俗的科普一下,主要是认识这几个名词。

(用词不准确轻喷)

线性反馈移位寄存器(LFSR)

你没听过的梅森旋转算法

这个,就当它是随机数发生器就完事了,不要太去纠结定义。后面会讲。

本原多项式

简单的说来就是没法化简的多项式

比如 y=x^4+x^2 就可以化简

也是知道就好

计算机的一个二进制单位(0或1)就是一级

这个应该比较好理解

反馈函数

这个应该是网上看别的博客最绕的知识点

简单地理解成告诉你你要对这个寄存器干什么的一个函数就好了

(看到这里应该还没懵吧)

异或

这个…

还要我科普吗?

就是两个数,如果都是0或都是1就输出0,一个1一个0输出1.

->continue

原理分析

这个旋转算法实际上是对一个19937级的二进制序列作变换。

大数据开发环境需要的安装包合集,亲测没问题

首先我们达成一个共识:

一个长度为n的二进制序列,它的排列长度最长为2^n。

当然这个也是理论上的,实际上可能因为某些操作不当,没挺到2^n个就开始循环了。

那么如何将这个序列的排列撑满2^n个,就是这个旋转算法的精髓。

如果反馈函数的本身+1是一个本原多项式,那么它的循环节达到最长,即2^n-1

这个数学证明本文不作过多论述,有兴趣者可以自己查阅资料

个人感觉单讲知识点挺难懂的(笔者就是这么被坑的)

我们就拿一个4级的寄存器模拟一下:

我们这里使用的反馈函数是 y=x^4+x^2+x+1(这个不是本原多项式,只是拿来好理解) 这个式子中x^4,x^2,x的意思就是我们每次对这个二进制序列的从后往前数第4位和第2位做异或运算 ,然后再拿结果和最后一位做异或运算。把最后的结果放到序列的开头,整个序列后移一位,最后一位舍弃(或者输出)

你没听过的梅森旋转算法

  1. 初始数组 { 1 , 0 , 0 , 0 } (为什么不是 0,0,0,0 你们可以自己想想,文章末尾揭晓)

你没听过的梅森旋转算法

  1. 将它的第四位和第二位抓出来做异或运算

你没听过的梅森旋转算法

  1. 把刚刚的运算结果和最后一位再做一次运算

你没听过的梅森旋转算法

  1. 把最后的运算结果放到第一位,序列后移。最后一位被无情的抛弃

这就是一次运算,然后这个算法就是不断循环这几步,从而不断伪随机改变这个序列。

你没听过的梅森旋转算法

上图是一个网上找的一个4级寄存器的模拟过程

大家可以推一下,它所使用的反馈函数(y=x^4+x+1)

因为这个是本原多项式

所以他最后的循环节是2^4-1=15

运算结果如下:

你没听过的梅森旋转算法

(图片摘自原文链接

关于旋转

可能有人到这里还没看出“旋转”在哪里。因为我们每次计算出来的结果会放在开头,序列后移一位。看起来就像数组在向后旋转…

(本来想做gif的,后来不知道怎么做出旋转)

大家自行脑补

你没听过的梅森旋转算法

->continue

代码实现

(笔者很懒,直接搬原代码出处的代码)

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

using namespace std;

bool isInit;
int index;
int MT[624];  //624 * 32 - 31 = 19937

void srand(int seed)
{
    index = 0;
    isInit = 1;
    MT[0] = seed;
    for(int i=1; i<624; i++)
    {
        int t = 1812433253 * (MT[i-1] ^ (MT[i-1] >> 30)) + i;
        MT[i] = t & 0xffffffff;   //取最后的32位
    }
}

void generate()
{
    for(int i=0; i<624; i++)
    {
        // 2^31 = 0x80000000
        // 2^31-1 = 0x7fffffff
        int y = (MT[i] & 0x80000000) + (MT[(i+1) % 624] & 0x7fffffff);
        MT[i] = MT[(i + 397) % 624] ^ (y >> 1);
        if (y & 1)
            MT[i] ^= 2567483615;
    }
}
int rand()
{
    if(!isInit)
        srand((int)time(NULL));
    if(index == 0)
        generate();
    int y = MT[index];
    y = y ^ (y >> 11);
    y = y ^ ((y << 7) & 2636928640);
    y = y ^ ((y << 15) & 4022730752);
    y = y ^ (y >> 18);
    index = (index + 1) % 624;
    return y;  //笔者注:y即为产生的随机数 
}

int main()
{
    srand(0);  //设置随机种子
    int cnt = 0;
    for(int i=0; i<1000000; i++)  //下面的循环是用来判断随机数的奇偶概率的 
    {
        if(rand() & 1)
            cnt++;
    }
    cout<<cnt / 10000.0<<"%"<<endl;
    return 0;
}

->continue

填一下前面的坑

这里回答一下前面的那个问题:

为什么循环节是2^n-1而不是2^n

这个问题的答案和为什么初始序列不能是 { 0 , 0 , 0 , 0 }是一样的,因为如果全是0的话,无论怎么异或运算都不能产生循环。那么还怎么伪随机啊。

因为不能是全0,所以循环节要-1

(* o *)

( ⊕ o ⊕ )

最后非常感谢你能有耐心读到这里。

大家都很强,可与之共勉。

概率统计——期望、方差与最小二乘法

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原文地址:《你没听过的梅森旋转算法》 发布于2020-01-24

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