【算法】递归

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递归

  • 递归实现的原理:
    一个递归函数的调用过程类似于多个函数的嵌套的调用,只不过调用函数和被调用函数是同一个函数。为了保证递归函数的正确执行,系统需设立一个工作栈。具体地说,递归调用的内部执行过程如下:
    1. 运动开始时,首先为递归调用建立一个工作栈,其结构包括值参局部变量返回地址
    2. 每次执行递归调用之前,把递归函数的值参局部变量的当前值以及调用后的返回地址压栈;
    3. 每次递归调用结束后,将栈顶元素出栈,使相应的值参和局部变量恢复为调用前的值,然后转向返回地址指定的位置继续执行。
  • 注意:在我们了解了递归的基本思想及其数学模型之后,我们如何才能写出一个漂亮的递归程序呢?我认为主要是把握好如下三个方面:
    1. 明确递归函数的作用;
    2. 明确递归终止条件与对应的解决办法;
    3. 找出函数的等价关系式,提取重复的逻辑缩小问题规模。
  • 递归三步走:
    • 明确函数功能:要清楚你写这个函数是想要做什么;
    • 寻找递归出口:递归一定要有结束条件,不然会永远递归下去,禁止套娃
    • 找出递推关系:开始实现递归,一步一步递推出最终结果。

明确函数功能

第一步,明确这个函数的功能是什么,它要完成什么样的一件事。
而这个功能,是完全由你自己来定义的。也就是说,我们先不管函数里面的代码是什么、怎么写,而首先要明白,你这个函数是要用来干什么的。

例如,求解任意一个数的阶乘:
要做出这个题,
第一步,要明确即将要写出的这个函数的功能为:算n的阶乘。

//算n的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    
}

寻找递归出口(初始条件)

递归:就是在函数实现的内部代码中,调用这个函数本身。所以,我们必须要找出递归的结束条件,不然的话,会一直调用自己,一直套娃,直到内存充满。

  • 必须有一个明确的结束条件。因为递归就是有“递”“归”,所以必须又有一个明确的点,到了这个点,就不用“递下去”,而是开始“归来”。

第二步,我们需要找出当参数为何值时,递归结束,之后直接把结果返回。
一般为初始条件,然后从初始条件一步一步扩充到最终结果

注意:这个时候我们必须能根据这个参数的值,能够直接知道函数的结果是什么。

让我们继续完善上面那个阶乘函数。
第二步,寻找递归出口:
当n=1时,我们能够直接知道f(1)=1
那么递归出口就是n=1时函数返回1。
如下:

//算n的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    if(n == 1) {
        return 1;
    }
}

当然,当n=2时,我们也是知道f(2)等于多少的,n=2也可以作为递归出口。递归出口可能并不唯一的。

找出递推关系

第三步,我们要从初始条件一步一步递推到最终结果。(可以类比数学归纳法,多米诺骨牌)

  • 初始条件:f(1) = 1
  • 递推关系式:f(n) = f(n-1)*n

这样就可以从n=1,一步一步推到n=2,n=3…

// 算n的阶乘(假设n不为0)
int f(int n) {
    if(n = 1) {
        return n;
    }
    // 把f(n)的递推关系写进去
    return f(n-1) * n;
}

到这里,递归三步走就完成了,那么这个递归函数的功能我们也就实现了。
可能初学的读者会感觉很奇妙,这就能算出阶乘了?

那么,我们来一步一步推一下。
f(1)=1
f(2)=f(1)*2=2
f(3)=f(2)*3=2*3=6

你看看是不是解决了,n都能递推出来!

例题

斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34….,即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

常见的基本数据结构——栈

  • 明确函数功能:f(n)为求第n项的值

    // 1.f(n)为求第n项的值
    int f(int n) {
    
    }
  • 寻找递归出口:f(1)=1,f(2)=1

    // 1.f(n)为求第n项的值
    int f(int n) {
        // 2.递归出口
        if(n <= 2) {
            return 1;
        }
    }
  • 找出递推关系:f(n) = f(n-1)+f(n-2)

    // 1.f(n)为求第n项的值
    int f(int n) {
        // 2.递归出口
        if(n <= 2) {
            return 1;
        }
        // 3.递推关系
        return f(n-1) + f(n-2);
    }

小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

  • 明确函数功能:f(n)为青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

    int f(int n) {
    
    }
  • 寻找递归出口:f(0)=0,f(1)=1

    int f(int n) {
        // 递归出口
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
    }
  • 找出递推关系:f(n) = f(n-1)+f(n-2)

    int f(int n) {
        // 递归出口
        if(n <= 2) {
            return 1;
        }
        // 递推关系
        return f(n-1) + f(n-2);
    }

递归优化思路

自顶向下

上面说了那么多,都是自底向上
(我比较习惯自底向上,因为比较符合数学归纳法,顺着推)
【算法】递归

例如,阶乘可以理解为f(n)一步一步分解为f(n-1)…直到f(1),一步步化小,这样也是可以的。

重复计算

其实递归当中有很多子问题被重复计算。

对于斐波那契数列,f(n) = f(n-1)+f(n-2)。
递归调用的状态图如下:
【算法】递归
其中,递归计算时f(6)、f(5)…都被重复了很多次,这是极大的浪费,当n越大,因重复计算浪费的就越多,所以我们必须要进行优化。

  • 优化思路:
    • 建立一个数组,将子问题的计算结果保存起来。
    • 判断之前是否计算过:
      • 计算过,取出来用
      • 没有计算过,再递归计算
  • 实例:
    • 把n作为数组下标,f(n)作为值。
      例如arr[n] = f(n)。
    • f(n)还没有计算过的时候,我们让arr[n]等于一个特殊值。
      例如arr[n] = -1。
    • 当我们要判断的时候,
      • 如果 arr[n] = -1,则证明f(n)没有计算过;
      • 否则,f(n)就已经计算过了,且f(n) = arr[n]。
        直接把值取出来用就行了。

代码如下:

// 我们实现假定 arr 数组已经初始化好的了。
int f(int n) {
    if(n <= 1) {
        return n;
    }
    //先判断有没计算过
    if(arr[n] != -1) {
        //计算过,直接返回
        return arr[n];
    }else {
        // 没有计算过,递归计算,并且把结果保存到 arr数组里
        arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
        reutrn arr[n];
    }
}

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原文地址:《【算法】递归》 发布于2020-01-15

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