为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?

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为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?

 

为什么样本方差的分母是n-1?最简单的原因,是因为因为均值已经用了n个数的平均来做估计在求方差时,只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。而你的第n个数已经可以由前(n-1)个数和均值 来唯一确定,实际上没有信息量。所以在计算方差时,只除以(n-1)。

 

那么更严格的证明呢?请耐心的看下去。

 

 

样本方差计算公式里分母为为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?的目的是为了让方差的估计是无偏的。

无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的,尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义,这个问题我们不在这里探讨;不符合直觉的是,为什么分母必须得是为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?而不是才能使得该估计无偏。

首先,我们假定随机变量的数学期望是已知的,然而方差未知。在这个条件下,根据方差的定义我们有

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由此可得
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因此

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是方差的一个无偏估计,注意式中的分母不偏不倚正好是!这个结果符合直觉,并且在数学上也是显而易见的。

现在,我们考虑随机变量为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?的数学期望是未知为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?的情形。这时,我们会倾向于无脑直接用样本均值为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?替换掉上面式子中的为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?。这样做有什么后果呢?后果就是,如果直接使用

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作为估计,那么你会倾向于低估方差!这是因为:

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换言之,除非正好,否则我们一定有

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而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计!这个不等式说明了,为什么直接使用

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会导致对方差的低估。

那么,在不知道随机变量真实数学期望的前提下,如何“正确”的估计方差呢?答案是把上式中的分母n换成n-1,通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点,我们就能获得对方差的正确估计了:

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至于为什么分母是n-1而不是n-2或者别的什么数,最好还是去看真正的数学证明,因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”;暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。

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