关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转

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[MariaDB]MHA高可用部署-实验

 

 

原文作者:aircraft

原文链接:https://www.cnblogs.com/DOMLX/p/12166896.html

 

 

为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢? – Yu Mao的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢? – Yu Mao的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

opengl里面涉及到了许多的计算机图形学的知识,当然也涉及到了许多矩阵运算类的知识,基本都是在线性代数里面学过的。

 

就比如opengl里面的平移函数glTranslatefx,y,z

其作用就是将你绘点坐标的原点在当前原点的基础上平移一个(x,y,z)向量。

就是让当前点与一个平移矩阵相乘来求得最终矩阵,来进行平移

 

那么就要先从矩阵乘法开始

 一.矩阵乘法:

若要把矩阵与矩阵相乘,我们要计算行与列的点积“……这是什么意思?我们来看个例子:

 第一行  第一列 的答案:

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点积是把 对称的元素相乘,然后把结果加起来:

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我们把第一个元素相配(1 7),然后相乘。第二个元素(2 9) 和第三个元素(3 11)也一样,然后把结果加起来。

想多看一个例子?这是第一行与第二列

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(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

第二行  第一列也同样做:

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

第二行  第二列

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

我们得到:

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二.矩阵的线性变换以及glTranslatef(x,y,z)函数详解

  对于opengl的glTranslatef(x,y,z)函数就是依靠线性变换来进行平移操作的,

其作用就是将你绘点坐标的原点在当前原点的基础上平移一个(x,y,z)向量。

就是让当前点与一个平移矩阵相乘来求得最终矩阵,来进行平移

 

任意线性变换都可以用矩阵表示为易于计算的一致形式,并且多个变换也可以很容易地通过矩阵的相乘连接在一起
线性变换不是唯一可以用矩阵表示的变换。R维的仿射变换与透视投影都可以用齐次坐标表示为RP维(即n+1 维的真实投影空间)的线性变换。因此,在三维计算机图形学中大量使用着 4×4 的矩阵变换
  在opengl中就经常用到仿射变换的形式。

  仿射变换:为了表示仿射变换,需要使用齐次坐标,即用三向量 (x,y, 1) 表示二向量,对于高维来说也是如此。按照这种方法,就可以用矩阵乘法表示变换。规定:x‘ =x+tx;y‘ =y+ty。在矩阵中增加一列与一行,除右下角的元素为 1 外其它部分填充为 0,通过这种方法,所有的线性变换都可以转换为仿射变换。通过这种方法,使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。当使用仿射变换时,其次坐标向量w从来不变,这样可以把它当作为 1。 

  在矩阵的初等变换中,矩阵的左乘代表着行变换,TA=B。 
矩阵的右乘相当于列变换, AT=C。

 

  当三维坐标发生旋转、平移时,就需要考虑到矩阵是左乘还是右乘。 
设有旋转矩阵R,平移矩阵T, 坐标矩阵A。

若是绕着静态的世界坐标系旋转,有RA,即左乘旋转矩阵 
– 
若是绕着动态的自身坐标系旋转,有A’R’, 即右乘旋转矩阵

 

这个意思就是 我们先glTranslatef(x,y,z)移动后旋转的话,那么就是物体先移动 然后绕着自身旋转也是绕自身坐标系旋转。先旋转 在移动 那么就是绕世界坐标系旋转了

  好接下来介绍一下矩阵平移

 

举个二维点移动的例子:

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标, [X,Y]为变换后坐标。

 

则 X = x+dx;  Y = y+dy;

 

然后其中的矩阵运算过程是:我们先将(x,y)点坐标转化为其次坐标(x,y,1)这是在计算机图形学中经常用到的(不知道为什么要转换为齐次坐标后面会讲)

那么就可以得到:

 

 

 

                            [ 1    0    0 ]

 

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    1    0 ] ; 

 

                            [ dx  dy  1 ]

 

这个时候X = x+dx;  Y = y + dy; 是不是就实现了坐标的移动???

hhhh    没看懂的话把上面的矩阵乘法在看一次 动动手,写两笔就出来的东西不要一直想

 

那么在举个三维点移动的例子:

同样的 先(x,y,z)点坐标转化为其次坐标(x,y,z,1) 然后变换后的(X,Y,Z)不就是等于(x,y,z,1)乘以下图的变换矩阵吗???

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动动手用矩阵乘法得出:X = x+dx;  Y = y + dy;Z = z + dz;    不就移动好了吗????

 

需要特别注意的是在opengl中的矩阵采用列优先存储,矩阵表示如下

 

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那么刚才为什么要转化齐次坐标??

我们可以看这篇博客:其次坐标的理解

我摘抄主要的部分在下面了:

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换

 

对于一个向量v以及基oabc可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v = v1 a + v2 b + v3 c          1

 而对于一个p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得 po = p1 a + p2 b + p3 c            2),

 

从上面对向量的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——p – o(有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

 

(1)(3)是坐标系下表达一个向量的不同表达方式。这里可以看出,虽然都是用代数分量的形式表达向量和点,但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7),谁知道它是个向量还是个点!

    我们现在把(1)(3)写成矩阵的形式:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样,向量和点在同一个基下就有了不同的表达:3D向量的第4个代数分量是0,而3D的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

 

这样,上面的(1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时

   如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

   如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时   

   如果是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);

   如果是(x,y,z,0),则知道它是个向量,仍然变成(x,y,z)

 

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知,对于平移T、旋转R、缩放S3个最常见的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为普通向量没有位置概念,只有大小和方向.

 

而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换非常方便。

 

此外,对于一个普通坐标的P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个分量。

 

 为什么引入齐次坐标可以表示平移?

 

首先我们用一个矢量来表示空间中一个点:关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转
如果我们要将其平移,平移的矢量为:关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转
那么正常的做法就是:关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转

如果不引入齐次坐标,单纯采用3X3矩阵乘法来实现平移
你想做的就是找到一个矩阵关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转,使得
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然后你就会发现你永远也找不到这样的矩阵

所以我们需要新引入一个维度,原来关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转
那么我们可以找到一个4X4的矩阵来实现平移
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现在,就有:
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三.矩阵实现旋转以及glRotatef(angle,x,y,z)函数详解

  函数原型:glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

该函数用来设置opengl中绘制实体的自转方式,即物体如何旋转

参数说明:

angle:旋转的角度,单位为度;

x,y,z表示绕着那个轴旋转,如果取值都为0,则表示默认的绕x轴逆时针旋转。

x,y为0,z不为0时,表示绕z轴旋转;x,z为0,y不为0时,表示绕y轴旋转;y,z为0,x不为0,表示绕x轴旋转。

旋转的逆顺时针是通过x,y,z值得正负来确定的:取值为正时,表示逆时针旋转;取值为负时,表示顺时针旋转。

例:glRotatef(30,0,-1,0);

表示绕y轴顺时针方向旋转30度。

关于逆时针与顺时针,可用右手定则:

即手握住某个坐标轴,大拇指指向某轴的正方向,其余四个手指的弯曲方向即为绕某轴旋转的逆时针方向;反之为顺时针方向。

 

 

 好,看完了函数  我们接下来理解一下矩阵的旋转 当然也包括图形的旋转。。。。

 

二维极坐标系 情况如下:

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上面是二维的情况,那么我直接想象这是三维的 z轴指向屏幕外,可以上面不就是在三维空间  绕Z轴旋转的情况吗 也就是在XOY面移动  就只改变了x,y坐标 

mongodb 更新嵌套数组的值

 

 

于是可得下面的转换方程

 

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写成矩阵的形式就是(不理解看 第一步的矩阵乘法知识 在不会敲爆你的狗头!!!)

 

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求得旋转矩阵为

 

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由于这里使用齐次坐标,所以还需加上一维,最终变成如下形式

 

 

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这样就得到了三维空间中绕Z轴旋转的 旋转矩阵式

 

对于绕X轴旋转的情况,我们只需将式一中的x用y替换,y用z替换,z用x替换即可。替换后得到

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对应的旋转矩阵为

绕X轴旋转矩阵

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对于绕Y轴旋转的情况,只需对式二做一次同样的替换即可,的到的变换方程为

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对应的变换矩阵为

绕Y轴旋转矩阵

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四.如何绕任意轴旋转以及怎么用glRotatef(angle,x,y,z)绕任意轴旋转

 

绕通过原点的任意旋转轴的旋转是:
    glRotatef(theta, vx, vy, vx)
其中vx,vy,vz用与定义通过坐标原点的旋转轴的方向,theta用于指定旋转角度。
如果旋转轴不在原点,可以先用glTranslatef(tx, ty, tz)将旋转轴平移到原点,调用上述函数旋转完成后再平移回原来的地方:glTranslatef(-tx, -ty, -tz)

 

至于为什么呢 已经有大佬的博客写过整个推导过程 直接推荐给你们:

 

绕任意轴旋转

 

博客地址是:https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/10/2627458.html

 

当然为了大家方便看 我直接摘抄主要过来如下:

 

 

绕任意轴旋转的情况比较复杂,主要分为两种情况,一种是平行于坐标轴的,一种是不平行于坐标轴的,对于平行于坐标轴的,我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合,然后进行旋转,最后再平移回去。

 

  • 将旋转轴平移至与坐标轴重合,对应平移操作关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转
  • 旋转,对应操作关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转
  • 步骤1的逆过程,对应操作 关于opengl中的三维矩阵平移,矩阵旋转,推导过程理解 OpenGL计算机图形学的一些必要矩阵运算知识 glTranslatef(x,y,z)glRotatef(angle,x,y,z)函数详解,绕任意轴旋转

 

整个过程就是

 

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对于不平行于坐标轴的,可按如下方法处理。(该方法实际上涵盖了上面的情况)

 

  1. 将旋转轴平移至原点
  2. 将旋转轴旋转至YOZ平面
  3. 将旋转轴旋转至于Z轴重合
  4. 绕Z轴旋转θ度
  5. 执行步骤3的逆过程
  6. 执行步骤2的逆过程
  7. 执行步骤1的逆过程

 

假设用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)来表示旋转轴,θ表示旋转角度。为了方便推导,暂时使用右手系并使用列向量,待得出矩阵后转置一下即可,上面步骤对应的流程图如下。

 

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步骤1是一个平移操作,将v1v2平移至原点,对应的矩阵为

 

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步骤2是一个旋转操作,将p(p = v2 -v1)旋转至XOZ平面,步骤3也是一个旋转操作,将p旋转至与Z轴重合,这两个操作对应的图如下。

 

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做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线,则r是p绕X轴旋转所得,且旋转角度为α,且

 

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于是旋转矩阵为

 

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现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合,旋转的角度为-beta(方向为顺时针),且

 

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于是得到旋转矩阵为

 

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最后是绕Z轴旋转,对应的矩阵如下

 

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如果旋转轴是过原点的,那么第一步和最后一步的平移操作可以省略,也就是把中间五个矩阵连乘起来,再转置一下,得到下面的绕任意轴旋转的矩阵(这里要注意自己的opengl中是列向量还是行向量 需不要转置这个问题  列向量就不需要转置这一步了)

 

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如果旋转轴是不过原点的,那么第一步和最后一步就不能省略,将所有七个矩阵连乘起来,得到如下变换矩阵

 

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对应如下这个超长的矩阵,在这里(u, v, w) = (a2, b2, c2) – (a1, b1, c1),且是单位向量,a, b, c分别表示(a1, b1, c1)

 

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五.结合OpenGL来进行

 

  • 假如此时我们要让自己的图形原点中心旋转:

  那么直接调用  glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z) 即可  不断旋转的话 就直接把angle在其他循环函数中不断加一对360取余数就行了

 

  • 假如此时我们要让自己的图形在(x,y,z)位置绕自身中心旋转:

  那么直接调用glTranslatefx,y,z先将物体移动,然后在调用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

 

 

  • 假如此时我们要让自己的图形在(x,y,z)位置绕世界坐标系旋转:

  那么就是先旋转在移动,先调用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z),然后在移动到位置 glTranslatefx,y,z)这也是先移动在旋转  和先旋转在移动的区别,一个绕自身中心旋转,一个绕世界坐标系旋转

  此时的 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)函数中的 x,y,z 就是一个轴向量了   绕哪个轴旋转的意思      x = 1,y = 0; z = 0;那么就是绕X轴旋转 其他同理  即手握住某个坐标轴,大拇指指向某轴的正方向,其余四个手指的弯曲方向即为绕某轴旋转的逆时针方向;反之为顺时针方向。

 

 

 

 

 

参考博客:https://blog.csdn.net/zbq_tt5/article/details/90046527

       https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

       https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

       https://blog.csdn.net/yangmeng900816/article/details/46816007  

       https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/08/2609005.html

 

 

 

 

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